hotel de hilbert

Infinitos infinitésimos

Mário Hungria

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O Hotel de Hilbert

Sobre como os trabalhos de um matemático – particularmente no que tange a entender o infinito – influenciaram (e ainda influenciam) a ciência e a filosofia nos dias de hoje. Hilbert conseguiu estabelecer que há infinitos maiores que os outros (e o mundo nunca mais foi o mesmo depois disso).


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A Matemática moderna, particularmente a produzida ao longo do Século XX, foi determinante para a configuração do mundo atual. A matemática aplicada está no cerne de uma gama tão vasta de possibilidades que a matemática – ou as ferramentas por elas desenvolvidas – configuram a base conceitual e científica sobre a qual se assenta a própria modernidade. Isto, por si só, já seria suficiente para justificar a necessidade de se estudar matemática.

O trabalho de um matemático é, basicamente, fazer perguntas e tentar encontrar respostas a elas. Essas tais “perguntas” podem vir tanto de um problema prático do mundo real (“é possível construir uma maneira de otimizar as linhas aéreas de todos os aeroportos do mundo?” “Qual o número mínimo de peixes que devo colocar em um dado tanque para garantir que a produção seja lucrativa em um prazo especificado?” “Qual deve ser a forma do tanque de combustível da minha empresa de modo que ele possua a maior capacidade possível, gastando o mínimo para sua confecção?”) quanto de problemas internos da matemática (“É possível construir um triângulo cuja soma dos ângulos internos seja maior que 180º?” “Toda equação tem solução?” “Existem mais números naturais ou pares?”).

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O ramo da Matemática que se ocupa de problemas sobre sua própria estrutura é chamado matemática pura e é sobre ela que trata este artigo. Na verdade, a questão que nos debruçaremos hoje é: o que é o infinito? Primeiramente, qualquer pessoa pode definir o que é infinito. Dentre as respostas que já ouvi dos meus alunos estão: “é um número muito grande”, “é o conjunto de todos os números”, “é o tamanho do universo”, etc. Claramente, essas definições possuem uma forte componente intuitiva, mas o infinito é, por definição, uma coisa que escapa à intuição.

Para provar isso, o matemático alemão David Hilbert propõe o seguinte experimento de pensamento: imagine um hotel com infinitos quartos, todos numerados e ocupados. É noite, está caindo uma tempestade e chega um novo ocupante para o hotel. O que o camareiro diz? Não tem problema, meu caro! Basta que cada ocupante de cada quarto vá para o quarto seguinte. O ocupante do quarto 1 vai para o quarto 2, este vai para o quarto 3 e assim sucessivamente. Desta forma, o quarto 1 estará vazio e poderá ser ocupado pelo novo hóspede!

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Mas a analogia de Hilbert não para por aí. Imagine que, nesta mesma noite tempestuosa, chegasse um ônibus lotado, com infinitos lugares numerados para ocupar vagas neste hotel que está novamente cheio. O camareiro, obviamente dirá que não há problema. Basta que cada ocupante de cada quarto vá para o correspondente ao seu dobro, ou seja, o ocupante do quarto 1 vai para o quarto 2, o do quarto 2 vai para o 4, o do 3 vai para o 6 e assim sucessivamente. Desta forma, infinitos quartos (os ímpares) ficarão vazios e poderão ser ocupados pelos infinitos passageiros do ônibus com infinitos lugares!

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Loucura? Este tipo de contradição é chamado de paradoxo e ocorre justamente porque o resultado esperado contraria a nossa intuição.

Mas o mesmo experimento de pensamento pode ter interpretações ainda mais contraditórias. Imagine que, nessa mesma noite de tempestade, desceu na estação ao lado do hotel um trem com infinitos vagões numerados, cada um deles com infinitos passageiros em cadeiras numeradas, todas elas ocupadas. Você dirá: agora sim, o camareiro vai dizer que não vai ter jeito...

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É claro que tem! Mas para isso, a gente vai precisar se lembrar de outro conceito matemático: números primos. Um número é primo se ele só é divisível por 1 e por si mesmo (além, é claro, dos respectivos negativos). Por exemplo, o número 2 é primo, pois só pode ser dividido por 1 e por 2. Assim também são os números 3, 5, 7, 11... Na verdade, existem infinitos números primos. E o fato deles serem infinitos vai ajudar a resolver o problema do nosso camareiro.

De fato, basta que ele peça, gentilmente, que cada ocupante do hotel vá para sua potência de 2. Por exemplo, o ocupante do quarto 1 vai para o quarto 2; o ocupante do quarto 2 vai para o quarto 2 X 2 = 4; o ocupante do quarto 3 vai para o quarto 2 X 2 X 2 = 8 e assim sucessivamente. Agora, vamos ao primeiro vagão do trem. O primeiro ocupante deve ocupar o quarto 3 (lembre que 3 é o próximo número primo). O próximo, ocupará o quarto 3 X 3 = 9. O próximo ocupará o quarto 3 X 3 X 3 = 27... No próximo vagão usaremos o próximo número primo: 5. O primeiro vai para o quarto 5, o segundo vai para o quarto 5 X 5 = 25, etc.

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Continuando desta maneira para os outros vagões, mesmo o hotel com infinitos quartos cheios poderá ser ocupado por infinitas pessoas em infinitos vagões de um trem infinitamente lotado! E, mais surpreendente ainda: o hotel de Hilbert terá infinitos quartos vazios após essa configuração! De fato, observe que assim ninguém ocupará os quartos 6, 10, 12, 14...

Caso queira entender melhor como o hotel de Hilbert funciona, assista o vídeo abaixo:

Não é de nosso interesse dar a solução de Hilbert para esse problema, apenas deixar o leitor ciente que as questões que envolvem a matemática pura são, muitas vezes, concernentes à própria estrutura da Matemática. Esse e muitos outros problemas podem ser utilizados para mostrar como e porque entidades que nos são totalmente intuitivas podem ser dotados de propriedades extraordinárias!


Mário Hungria

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